MathTrauma

1. $a,b,c$ 는 실수이고 $\frac 1a + \frac1b + \frac 1c = \frac 1{a+b+c}$ 이다. $$ ab+bc+ca \lt 0 $$ 임을 증명하라. $$ \frac{ab+bc+ca}{abc} = \frac 1{a+b+c} $$ $$ \Longleftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) =abc $$ 근과 계수와의 관계를 써야할 듯하니 $$ \alpha = a+b+c , \beta = ab+bc+ca $$ 라 하자. $a,b,c$를 근으로 가지는 3차 방정식은 앞서의 등식으로부터 $$ t^3 - \alpha t^2 + \beta t - \alpha\beta = 0 $$ $$ \Longrightarrow (t-\alpha)(t^2 + \beta) = 0 $$ 이..

주인공인 Wilson 정리를 소개한다. Wilson $p$를 소수라 하면 다음이 성립한다. $$ (p-1)! \equiv -1 \; (mod\; p) $$ 다음의 계산을 효과적으로 할 수 있다면 Wilson 정리의 증명을 이해한 것이다! $$ 4 \cdot \frac1{3} \cdot \frac1{4} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac1{2} \cdot \frac1{5} $$ 다음 문제들은 모두 같은 문제이다. 다음 식의 값을 간단히 하라. $$ \sum_{n=-100}^{100} \frac1{2^i+1}$$ 등차 수열을 합을 구하는 것과 다를 게 무엇인가? $$ \frac1{2^{-i}+1} + \frac1{2^{i}+1} = 1$$ 를 이용하면 된다. 수열..

1. Rigorous Proof 해석학 전반부의 내용은 point set topology 처럼 이전에 보지 못했던 것도 있지만, 극한, 연속성, 미분 등 상당 부분은 고교 과정, 학부 미적분학을 거치면서 이미 공부한 것들이다. 그럼에도 해석학이 불편한 것은 내용의 어려움 못지 않게 과목 성격을 납득하지 못해서일 가능성이 크다. 해석학은 내용 못지 않게 rigorous proof 에 초점이 맞춰진다. 고교 과정에서 나올 법한 문제를 가지고 이야기를 시작해보자. 닫힌 구간 $[a,b]$에서 $f'\gt 0$ 일 때, $f$ 가 $[a,b]$에서 증가함수임을 보여라. 해석학 시험에 출제되진 않겠지만, 위의 문제를 풀어야 한다고 가정해보자. (여기서 '증가'는 등호가 성립하지 않는 strictly increas..

정수 $n$의 나머지 동네를 공부한다. 시계를 볼 줄 안다면, 12에 관한 나머지 동네를 이해한거다. congruence $$ a \equiv b \;(mod \; n) \Leftrightarrow n \;|\; b-a \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : nk=b-a $$ 세 가지 표기법을 마구 오갈 것이니 숙지해두자. $a \equiv b \;(mod \; n)$ 일 때, $a,b$를 $n$에 관해서 합동(congruent)이라고 한다. 기본적인 성질들을 정리하자. Let a,b,c be integers. Then $a \equiv a \; (mod \;n)$ $a \equiv b \Leftrightarrow b \equiv a$ If $ a \equiv b (..

Prime(소수) An integer p is called prime if (and only if) $ p \gt 1 $ If $ a \;|\; p $, then $a=\pm 1$ or $\pm p$. 귀찮으니 양수로 한정해서 이야기하자. 소수가 아닌 수를 합성수라고 하는데, 1 과 자기자신 외의 양의 약수를 가진다는 말이 된다. 소수(prime) 그 자체를 소수의 곱으로 인정한다면, 경험상 1 보다 큰 자연수는 소수의 곱이었다. 그런데, 정작 이를 증명하라면 막막하다. 다음의 보조 정리의 증명에 '정렬성(Well-Ordering)'을 써보자. 임의의 2 이상인 자연수 $n$은 소수의 곱으로 표현된다. 소수의 곱으로 표현할 수 없는 자연수의 집합을 $X$ 라 하자. 만약 공집합이 아니라면 정렬성에 의해 ..

예고한 것처럼 '최대 공약수'를 다룬다. 두 정수의 '최대 공약수'가 두 수의 '일차결합'으로 표현된다는 점은 반드시 명심하자. 또한 이번 글에서 접혀있지 않은 증명은 모두 숙지해야 이후의 삶이 편해진다. G.C.D(the Greatest Common Divisor) Let $a$ and $b$ be integers. $d$ is the greatest common divisor if and only if $d \gt 0$ $d \;|\; a$ and $d\;|\;b$ $e|a$ and $e|b$ $\Rightarrow e \lt d$ 말 그대로, 최대공약수 $d$는 다른 모든 공약수($e$)보다 큰 공약수이다. 정의는 이해가 되는데, 최대공약수를 구하는 방법이 궁금하다. 지난 시간에 공부한 $a,b$ ..

대소 비교는 해석학에서 가장 중요한 기술이다. 따라서 다수의 부등식을 익혀야 하는데 생각나는대로 정리해 두자. 많은 중요 부등식은 서로 동치이고 증명의 방법도 많다. 여기에 소개하는 증명은 취향에 의해 선택된 경우가 많다. 처음 등장하는 부등식은 코시 부등식이다. 코시 부등식 Cauchy's Inequality $$ \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \ge \left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 $$ 코시 부등식은 가장 많은 증명이 제시된 부등식이기도 한데 일단 라그랑제 항등식을 이용하는 것부터 살펴보자. Lagrange's Identity $$ \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right..

0을 기준으로 하는 멱급수 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ 가 수렴하는 $x=x_0(\not=0)$가 존재한다고 하자. 어떤 $N$에 대하여 $n \ge N \rightarrow |a_n x_0^n| n, k|a_k| < \varepsilon$ 을 만족한다. 이로부터 $$\sum_{k=n+1}^\infty |a_k|x^k < \varepsilon \sum_{k=n+1}^\infty \frac1k x^k < \frac{\varepsilon}n \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{\varepsilon}{n(1-x)}.$$ 를 얻는다. 이제 $x_n = 1 - \frac1n$를 이 식에 대입하면 $$|s_n-f(x_n)| \le \frac1n \sum_{k=1}^n ..