MathTrauma

0을 기준으로 하는 멱급수 $$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ 가 수렴하는 $x=x_0(\not=0)$가 존재한다고 하자. 어떤 $N$에 대하여 $n \ge N \rightarrow |a_n x_0^n| n, k|a_k| < \varepsilon$ 을 만족한다. 이로부터 $$\sum_{k=n+1}^\infty |a_k|x^k < \varepsilon \sum_{k=n+1}^\infty \frac1k x^k < \frac{\varepsilon}n \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{\varepsilon}{n(1-x)}.$$ 를 얻는다. 이제 $x_n = 1 - \frac1n$를 이 식에 대입하면 $$|s_n-f(x_n)| \le \frac1n \sum_{k=1}^n ..

Stirling Formula 여기서 보이고자 하는 주된 결과는 $$n! \thickapprox \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n $$ 이다. ($ \thickapprox$ 는 우변으로 좌변을 나누고 극한을 취하면 1 이 된다는 의미이다.) 이를 조금 더 정교하게 정리하면 $$n! = \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\theta_n} \qquad |\theta_n| < \frac1{12n}$$ 가 된다. 경험상 이런 류의 결과들은 정확히 기억하는 것 쉽지 않다. 이미 포기하고 싶은 사람을 위해서 상대적으로 쉬운 것부터 준비했다. 1. $n!$이 $ n^n$ 의 대강의 비교부터 이 비교는 굉장히 중요하다. 만약 알고리즘을 공..

무한 집합을 다루려면 좋으나 싫으나 공리체계가 필요하다.무한 집합의 원소를 일일히 소개할 수 없기 때문이다. 그러나, 학부 초반에 배우게 되는 정수론 교재들은 공리계에 많은 시간을 할애하지는 않는다. 여기서는 실수계(Real Number System)의 공리체계를 알고 있다고 가정하고 정수는 실수의 부분집합으로 다룬다. 덧셈과 곱셈에 대한 정의, 양수와 음수의 개념등을 실수에서 빌어와서 새로이 정의할 필요를 덜기 위함이다. 그리고 $$\mathbb{P}=\mathbb{N}$$ 를 양의 정수 집합(자연수)를 나타내는 기호로 쓴다. 실수 공리체계를 정리한 글을 조만간 올린다. 하여간 실수 공리계를 이용하여 다음을 이끌어낼 수 있는데 여기서는 그냥 받아들인다. [Well Ordering Principle(정렬..