MathTrauma

1. $a,b,c$ 는 실수이고 $\frac 1a + \frac1b + \frac 1c = \frac 1{a+b+c}$ 이다. $$ ab+bc+ca \lt 0 $$ 임을 증명하라. $$ \frac{ab+bc+ca}{abc} = \frac 1{a+b+c} $$ $$ \Longleftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) =abc $$ 근과 계수와의 관계를 써야할 듯하니 $$ \alpha = a+b+c , \beta = ab+bc+ca $$ 라 하자. $a,b,c$를 근으로 가지는 3차 방정식은 앞서의 등식으로부터 $$ t^3 - \alpha t^2 + \beta t - \alpha\beta = 0 $$ $$ \Longrightarrow (t-\alpha)(t^2 + \beta) = 0 $$ 이..

주인공인 Wilson 정리를 소개한다. Wilson $p$를 소수라 하면 다음이 성립한다. $$ (p-1)! \equiv -1 \; (mod\; p) $$ 다음의 계산을 효과적으로 할 수 있다면 Wilson 정리의 증명을 이해한 것이다! $$ 4 \cdot \frac1{3} \cdot \frac1{4} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac1{2} \cdot \frac1{5} $$ 다음 문제들은 모두 같은 문제이다. 다음 식의 값을 간단히 하라. $$ \sum_{n=-100}^{100} \frac1{2^i+1}$$ 등차 수열을 합을 구하는 것과 다를 게 무엇인가? $$ \frac1{2^{-i}+1} + \frac1{2^{i}+1} = 1$$ 를 이용하면 된다. 수열..

1. Rigorous Proof 해석학 전반부의 내용은 point set topology 처럼 이전에 보지 못했던 것도 있지만, 극한, 연속성, 미분 등 상당 부분은 고교 과정, 학부 미적분학을 거치면서 이미 공부한 것들이다. 그럼에도 해석학이 불편한 것은 내용의 어려움 못지 않게 과목 성격을 납득하지 못해서일 가능성이 크다. 해석학은 내용 못지 않게 rigorous proof 에 초점이 맞춰진다. 고교 과정에서 나올 법한 문제를 가지고 이야기를 시작해보자. 닫힌 구간 $[a,b]$에서 $f'\gt 0$ 일 때, $f$ 가 $[a,b]$에서 증가함수임을 보여라. 해석학 시험에 출제되진 않겠지만, 위의 문제를 풀어야 한다고 가정해보자. (여기서 '증가'는 등호가 성립하지 않는 strictly increas..

완전 탐색을 하지 않고 해결하는 방법을 모르겠다. 풀이 적어놓고 천천히 생각해 봐야겠다.

정수 $n$의 나머지 동네를 공부한다. 시계를 볼 줄 안다면, 12에 관한 나머지 동네를 이해한거다. congruence $$ a \equiv b \;(mod \; n) \Leftrightarrow n \;|\; b-a \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : nk=b-a $$ 세 가지 표기법을 마구 오갈 것이니 숙지해두자. $a \equiv b \;(mod \; n)$ 일 때, $a,b$를 $n$에 관해서 합동(congruent)이라고 한다. 기본적인 성질들을 정리하자. Let a,b,c be integers. Then $a \equiv a \; (mod \;n)$ $a \equiv b \Leftrightarrow b \equiv a$ If $ a \equiv b (..

Prime(소수) An integer p is called prime if (and only if) $ p \gt 1 $ If $ a \;|\; p $, then $a=\pm 1$ or $\pm p$. 귀찮으니 양수로 한정해서 이야기하자. 소수가 아닌 수를 합성수라고 하는데, 1 과 자기자신 외의 양의 약수를 가진다는 말이 된다. 소수(prime) 그 자체를 소수의 곱으로 인정한다면, 경험상 1 보다 큰 자연수는 소수의 곱이었다. 그런데, 정작 이를 증명하라면 막막하다. 다음의 보조 정리의 증명에 '정렬성(Well-Ordering)'을 써보자. 임의의 2 이상인 자연수 $n$은 소수의 곱으로 표현된다. 소수의 곱으로 표현할 수 없는 자연수의 집합을 $X$ 라 하자. 만약 공집합이 아니라면 정렬성에 의해 ..

예고한 것처럼 '최대 공약수'를 다룬다. 두 정수의 '최대 공약수'가 두 수의 '일차결합'으로 표현된다는 점은 반드시 명심하자. 또한 이번 글에서 접혀있지 않은 증명은 모두 숙지해야 이후의 삶이 편해진다. G.C.D(the Greatest Common Divisor) Let $a$ and $b$ be integers. $d$ is the greatest common divisor if and only if $d \gt 0$ $d \;|\; a$ and $d\;|\;b$ $e|a$ and $e|b$ $\Rightarrow e \lt d$ 말 그대로, 최대공약수 $d$는 다른 모든 공약수($e$)보다 큰 공약수이다. 정의는 이해가 되는데, 최대공약수를 구하는 방법이 궁금하다. 지난 시간에 공부한 $a,b$ ..

python3에는 이미 %-formatting 과 str.format( )이 있었다. 그런데 둘 모두 스트링 끝에 치환해야할 값을 따로 열거하는 방식(C-style)이다보니, 치환해야할 값이 많아지면 가독성이 떨어지고 매칭할 개수를 실수할 여지가 많았다. 치환해야할 자리에 바로 변수를 입력하는 방식이 적용된 것이 f-string 이다. 1. 형식 스트링 앞에 'f' 또는 'F'를 붙이고 치환되어야 할 자리를 {variable_name} 으로 하면 된다. 조금 더 게을러져 보자. 위의 예에서 name 값 앞에 '이름 : ' 을 붙이는 것도 귀찮다면 { } 안에서 변수명 뒤에 '='를 사용하면 변수명을 문자로 출력하고 값도 출력해주는 기특한 짓을 한다. 2. 제한 (1) f-string 의 치환 영역 { }..