Real Number Axioms, Well-Ordering Theorem

1. Rigorous Proof

해석학 전반부의 내용은 point set topology 처럼 이전에 보지 못했던 것도 있지만, 극한, 연속성, 미분 등 상당 부분은 고교 과정, 학부 미적분학을 거치면서 이미 공부한 것들이다. 그럼에도 해석학이 불편한 것은 내용의 어려움 못지 않게 과목 성격을 납득하지 못해서일 가능성이 크다.

해석학은 내용 못지 않게 rigorous proof 에 초점이 맞춰진다. 고교 과정에서 나올 법한 문제를 가지고 이야기를 시작해보자.

닫힌 구간 $[a,b]$에서 $f'\gt 0$ 일 때, $f$ 가 $[a,b]$에서 증가함수임을 보여라.

해석학 시험에 출제되진 않겠지만, 위의 문제를 풀어야 한다고 가정해보자. (여기서 '증가'는 등호가 성립하지 않는 strictly increasing 의 의미)

단순히 증명을 할 수 있느냐만 문제가 되지 않는다.

문제에 도함수가 등장했으니 미분까지 진도가 나간 상황일 텐데,

1. '평균값 정리'도 진도 범위에 포함되어 있었다면
   $a\lt u \lt v \lt b$ 라고 하고, '평균값 정리에 의하여'라는 문구로 시작하여 $$ f(v)-f(u)=f'(z)(v-u) \Rightarrow f(v)-f(u)\gt 0$$ 와 같은 비교적 간결한 답안 작성이 가능할 것이다. ($f'\gt 0$ 이었다.)
2. 하지만, 만약 도함수의 정의까지만 배우고 아직 '평균값 정리'까지 진도를 나가지 못했다면 상황이 다르다.
   1. 'compact set' 위에서 연속인 함수는 구간에서 '최대(최소)값'을 가짐을 이용해서 롤의 정리를 거쳐 스스로 평균값 정리를 증명한 후에 문제를 해결하거나
   2. 결론을 부정해서, $a\le \alpha \lt \beta \le b$ 이지만 $f(\alpha) \ge f(\beta)$ 인 $\alpha, \beta$ 의 존재를 가정하고, 다음 집합 $$X=\{ x \in [\alpha, \beta] \;|\; \forall z\in (\alpha,x], f(\alpha)\lt f(z) \}$$ 가 공집합이 아니고 위로 유계임을 보인 후에, '완비성(completeness) 공리'에 의해 존재를 보장 받은 $X$의 '최소상계'에서 모순이 일어남을 보이는 방식도 있다.

'compact', '완비성', '최소상계'가 뭔지 몰라도 상관없다.

말하고자 하는 것은 해석학에서 강조하는 rigorous proof 의 성격이다. '엄밀한 증명'은 '타당한 증명'에 '현재까지 주어진 정보만 이용해서'라는 추가적인 제약이 붙어 있다고 생각하면 될 것이다.

Rigorous Proof 란 문제가 제시된 시점 이전까지 교재가 제공(허용(?))한 정보만으로 증명하는 것! (위 문장의 '정보'가 무엇을 의미하는지는 이후 진행과정에서 알게 될 것이다.)

이미지는 레고(Lego)로 새를 만든 것이다. 만약 레고 브릭의 요철을 맞춘 것이 아니라 접착제를 사용하거나 녹여서 새를 만들었다면, 멋지게 새를 만들었다고 칭찬할 것인가?

여러분의 해석학 답안지도 주어진 것만을 사용하고 허용된 방식으로만 작성되어야 한다. 실용 관점에서 보면 해석학은 학생에게 어떤 정보가 주어져 있는지 파악하는 능력에 주어진 정보를 잘 활용하는 능력 향상을 요구하는 과목으로 생각된다.

세 가지를 언급하고 다음으로 진행한다.

1. 사고 과정에서 직관, 상상력을 발휘하는 것은 중요한 것이지만, 논증의 근거는 될 수는 없다. 해석학 답안에서는 어림도 없다! 또한 교재가 제공한 공리(어떤 의미로 정의의 일부)와 정의 외에는 모든 것이 증명의 대상이다.
2. 교재에서 벗어난 지식을 사용할 수 없다는 측면에서 self-contained 라는 표현이 등장하기도 한다. 교재를 벗어날 수 없으니 답안에 '앞에서 나온 [공리,정의,정리] 의하여' 라는 문구를 많이 보게(사용하게) 된다.
3. 여담이지만, 앞서의 문제에서

   만약 답안에 '접선의 기울기가 양수니까' 같은 문구가 등장하면 채점자(교수 혹은 조교)는 일단 낙담할 것이다. '도함수가 양수'의 동어 반복에 불과한 '접선의 기울기가 양수'라는 문구는 심지어 상황에 따라 학점에 해로울 가능성이 있다.

   물론 풀이가 길어지면 지금 어떤 조건를 사용하는지를 알리기 위해, 문제의 조건을 답안에 다시 써야하는 경우도 있지만, 지금 문제에서라면 곤란하다.

   만약 풀이 전체가 '각 점에서 기울기가 양수니까 함수는 증가한다.' 라면 이건 가슴이 답답할 것 같다. 표현을 바꾸어 문제를 다시 쓰고 채점해 달라는 꼴이니...

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2. Axiom(공리)

처음에는 '공리'라는 용어가 어렵고 불편할 수 있다.
공리를 증명이 요구되지 않는 명제로 설명하는 경우를 종종 보게 된다. 그런데,
'증명이 불필요' 라는 수식어가 강조되면서, 마치 공리가 심오한 무엇처럼 보이게 만들지는 않았을까?

어떤 문장이 증명의 대상이 되는지는 상황에 따라 달라진다. '짝수' 집합을 정의해 보자. $$ \mbox{짝수 } = \{2n\;|\; n \in \mathbb{Z} \} $$ 이제 다음 문장을 생각해보자.

짝수의 원소는 2의 배수임을 증명하라.(?)

애초에 2의 배수들을 모아 둔 짝수의 원소가 2의 배수임을 증명하라는 것은 말이 안된다.
하지만, 6의 배수들이 2의 배수임을 증명하라는 것은 말이 된다.
우리가 짝수만 다루는 상황이라면 '2의 배수'라는 성질은 증명이 필요치 않은 공리적 성격을 가지게 된다.

이처럼 'XX 가 2의 배수' 라는 문장조차 어떤 경우에는 증명을 요하는 성질이고 어떤 경우에는 그렇지 않을 수 있다.

공리가 증명을 필요로 하지 않는 것은 심오한 이유가 있어서가 아니다.
위와 같이 정의에 사용된 문장이기 때문이다!

앞서 rigorous proof 를 설명하면서 교재에서 제공한 것만 사용한다고 했었다. 모든 과목에 공통되는 집합과 논리를 제하면, 교재가 최초로 제공되는 것은 공리(axiom)들이다. 사실 실수를 정의하는 공리는 마지막 것을 빼면 초등학교 이래로 사용해 온 것들이어서 기억하기에 부담은 없다. 문제는 오히려 우리가 너무 많이 알고 있기에 발생하는데...

우리는 이미 '임의의 실수 ☐ 에 대하여'로 시작하는, 옳다고 여기는 명제들을 많이 가지고 있다.

1. $\forall x\in\mathit{F},\; x \lt e^x$
2. $\forall a,b,c,d,e \in \mathit{F},\; x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ 은 실근을 가진다.
3. $\forall x\in \mathit{F},\; 0+x=x$
4. $\forall x\in \mathit{F},\; 0 \cdot x=0$
5. 임의의 $ x\in \mathit{F}$ 에 대하여 덧셈의 역원 $-x$는 유일하다.

(1,2 번은 아무리 봐도 증명의 대상일 것 같다. 그러나 3,4,5번은 어떤가?)
아마 대부분은 위의 명제(?)들이 옳다고 생각할 것이지만 다음 문장에도 동의할 것이다.

무한 집합의 모든 원소를 관찰할 수는 없다!

그렇다면 어떻게 무한 집합의 모든 원소에 대해 성립하는 성질이 존재하는지 아는 척 할 수 있는가?

무한 집합은 어떤 성질들을 만족하는 집합으로 정의되었기 때문이다.

Axiom

무한 집합은 '어떤 성질들'을 만족하는 집합으로 정의되는데, 이때 '어떤 성질들'을 공리(Axiom) 라고 한다.

'정의'라는 단어를 명심하자. 앞서 짝수의 예처럼, 정의의 일부인 '어떤 성질들'은 당연히 증명의 대상이 아니다.
일단 공리 중 일부를 보자.

Addition

0. There is a binary operation called addition and denoted '+'. $$\forall x,y\in\mathit{F},\; x+y\in\mathit{F}.$$
1. Addition is associative. $$\forall x,y,z \in \mathit{F},\; (x+y)+z=x+(y+z).$$
2. An additive identity exists. $$\exists ♢ : \forall x \in \mathit{F},\; x+♢=x=♢+x$$
3. Additive inverse exist. $$\forall x\in\mathit{F}, \exists y\in\mathit{F} :\; x+y=0=y+x. $$
4. Addition is commutative. $$\forall x,y \in \mathit{F},\; x+y=y+x.$$

관찰을 통해 실수가 위의 성질을 만족함을 알아낸 것이 아니라,
위의 것들에 몇 개의 추가적인 성질을 더한 집합을 실수라 부르기로 약속했다는 점을 다시 강조해 둔다.

주의!

해석학에서 '공리'는 출발점이다.
'공리'는 레고(Lego)의 brick 처럼 기본으로 제공되는 것이다.

위 그림처럼 공리들을 조립(?)해 원하는 결과물을 만들어야 하는 것이지, 오른쪽 그림처럼 '레고 브릭 규격의 비밀' 같은 방향으로 진행되어서는 곤란하다.

어떤 역사적 맥락에서 왜 그것들을 공리로 선택했는지, 다른 대안이 없었는지, 등은 해석학의 주제는 아니다.

정의(공리 포함)가 아닌 모든 것들은 쉽고 어렵고를 떠나 증명의 대상이 된다는 사실을 명심하자.
위에서 언급되지 않은 덧셈에 관한 성질은 마땅히 증명되어야 한다!

1. 덧셈의 항등원이 유일함을 보여라.(증명한 시점부터 유일한(unique) 덧셈의 항등원을 $0$으로 표기)
   $ ♢, ☐ $ 가 덧셈의 항등원이라 하자. 덧셈 공리 2 에 의하여 $$ ♢ = ♢ + ☐ = ☐ $$ 을 얻는다.
2. 덧셈의 역원이 유일함을 보여라.(이 후 실수 $x$ 의 역원을 $-x$로 표기)
   $ u, v $ 가 $x$ 덧셈의 역원이라 하자. 덧셈 공리 3 에 의하여
   $ x+u = 0 = u+x $ 와 $ x+v = 0 = v+x $ 가 성립한다. $$ u=u+0=u+(x+v)=(u+x)+v=0+v=v $$ 을 얻는다. 각 단계에서 항등원, 교환법칙이 사용된 것은 알아볼 수 있을 것이다.
   
3. [Cancellation Law]
   실수 $x,y,z$에 대해, $x+y=x+z$ 이면 $y=z$ 임을 보여라.
   $$\begin{align} y = 0+y = ((-x)+x)+y &= (-x)+(x+y) \\ &=(-x)+(x+z)=((-x)+x)+z=0+z=z \end{align}$$ 각 단계에서 ... 가 쓰였다.
4. 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $-(-x)=x$ 임을 보여라. (현재까지 '$-$' 는 덧셈의 역원을 의미하는 기호이고 아직 음수가 아니다!)
   바로 위에 있는 2번이나 3번 문제를 사용하면 된다.

시덥지 않은 증명이지만 시간 투자를 할지말지 갈등하는 시간 만큼은 투자하자. 해석학 시험에는 안나오겠지만 어차피 선형대수학이나 대수학에서 포장만 바뀐 위의 증명들을 다시 만나게 된다. 이를테면 역행렬의 유일성을 증명하라 처럼...

일단 공리를 받아들이고 잘 쓰는 게 중요하지만 궁금해하지 말라면 더 궁금한 것이 사람의 마음. 틈틈히 공리 자체에 대해서 살펴볼 것인데 최소한으로 다룰 것이다.

공리는 집합을 설계하기 위한 '가정'이므로 복잡할 것도 있지만 단순한 것들이 더 많다. 체 공리(Field Axiom) 의 나머지 부분을 마저 보자. 어렵게 얘기했지만 곱하기와 분배법칙을 보자는 말이다.

Multiplication

0. There is a binary operation called multiplication and denoted '$\;\cdot\;$' that can be omitted. $$\forall x,y \in \mathit{F},\; x\cdot y\in\mathit{F}.$$
1. Multiplication is associative. $$\forall x,y,z\in \mathit{F},\; (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z). $$
2. Multiplication identity $1(\not =0)$ exists. $$\forall x \in \mathit{F},\; x\cdot 1=x=1 \cdot x.$$
   ☢︎ Caution : $1$ is different from $0$. Now we have two elements of real numbers.
3. Multiplication inverses exist for nonzero real numbers. $$\forall x\in \mathit{F}-\{0\},\; \exists y \in \mathit{F}:\; x\cdot y=1=y\cdot x. $$
4. Multiplication is commutative. $$\forall x,y \in \mathit{F},\; x\cdot y=y\cdot x.$$

덧셈과 곱셈 양쪽과 관련있는 유일한 공리인 분배법칙도 역시 잘 알고 있을 것이다. 그리고 이후 곱셈 기호 '$\cdot$' 은 대체로 생략하겠다.

분배 법칙(Distribution)

Multiplication distributes over addition!

• $\forall x,y,z \in \mathit{F},\; x(y+z)=xy+xz$ and $ (y+z)x=yx+zx $.

다음의 것들 역시 공리에 없었으니 증명해야 한다.

1. 앞서 덧셈 다음의 문제들을 곱셈에 적용해 해결하라. (예) 곱셈의 항등원과 역원은 유일하다. (풀이 생략. 이후 0 이 아닌 실수 $x$ 의 곱셈 역원은 $x^{-1}$으로 표기)
2. $\forall x\in\mathit{F} , 0\cdot x=0$ 을 보여라.
   분배 법칙을 떠올려 다음 식을 보면 나머지는 Cancellation Law 이다. $$ 0 \cdot x = (0+0)\cdot x = 0\cdot x + 0\cdot x$$ 양쪽에 $0\cdot x$ 의 덧셈의 역원을 더하라는 말이다.
3. 임의의 실수 $x$ 에 대하여 $ -x=(-1)x $ 임을 보여라.
   $x=1 x$ 임을 생각해내면 된다. $$ x+ (-1)x = 1x + (-1)x = (1+(-1)) x =0$$
4. 다음을 증명하라. $\forall x,y\in\mathit{F},\; (-x)y=-(xy)=x(-y)$
   $(-x)y$ 가 $xy$ 의 덧셈의 역원임을 보이라는 문제이다. 덧셈의 역원은 유일하니까...
5. 다음을 증명하라. $\forall x,y\in\mathit{F},\; (-x)(-y)=xy. $
   $-(xy)$ 가 $(-x)(-y)$ 의 덧셈의 역원임을 보이라는 문제다.

순서 공리를 언급하기 전까지는 '값'의 개념이 없다. 오직 연산 규칙만 만족할 뿐! 공리를 통해 실수를 정의함으로써 현실 세계에 연관된 '값'이 아닌 독립적이고 추상적인 모델이 된 것은 아닐까?

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3. 남겨진 것들

공리가 만족해야 하는 것 : 무모순성과 독립성

공리의 무모순성과 독립성에 대해 대강 설명한다. 뭐, 딱히 엄밀하진 않지만 너그럽게 봐주길 바란다.

공리는 무모순적이어야 한다. 그런데 주어진 문장들이 모순을 일으키지 않음을 어떻게 알 수 있는가? 아래의 상황을 보자.

각각의 문장을 따라보면 별 문제가 없다. 그런데 둘을 나란히 써두면 말도 안된다!
선택한 공리들이 당장은 몰라도 내재적인 모순이 있을 가능성은 없을까?
적어도 체공리(Field Axioms) 에서는 모순이 일어나지 않음을 아래 모델이 보장해 준다.

만약 체공리에 모순이 있다면 그들을 모두 만족시키는 모델은 존재할 수 없을 것이다. 그런데 Boolean Algebra 쉽게는 '홀짝'의 세계는 원소가 유한개이므로 모든 가능성을 조사할 수 있는데 모순이 없다.

모순이 발생하는 것보다는 덜 치명적이지만 공리들이 독립적이지 않으면 모양새가 좋지 않다. 과연 공리들은 독립적일까? 그렇다. 예를 들어 덧셈의 항등원이 존재한다는 공리는 다른 공리들에 의해 강제되지 않는다. 순서 공리를 공부하고 '양의 실수'이 무모순적이라 하자. 이 집합은 덧셈의 항등원이 존재하지 않지만 나머지 공리들은 만족한다.

Self-contained

'Self-contained' 라는 단어가 등장했었다. 문제를 해결하는데 필요한 정보는 모두 교재에 있다는 것인데... 그런데, 해석학 교재가 완전히 self-contained 하지는 않다.

대체로 수학 교재 초반부에 집합과 논리에 대해 briefing이 제공되는데, 이들이 책 전체의 증명에 필요한 모든 것을 제공하지는 못한다.

집합의 경우 당연히 집합들의 집합은 무한할 것이므로 집합에도 공리가 필요하다. 하지만 집합의 공리는 '집합론'이란 과목에서 따로 다루고 대부분 과목에서는 대충 다룬다. 논리의 경우도 필요한 모든 것을 교재가 제공하지는 않을 것이다.

이는 해석학만의 문제는 아닌데, 양해하고 넘어갈 수 밖에는 없다.
'기호 논리학'과 '집합론'을 마스터하고 수학 공부를 시작할 수는 없는 노릇이니까...
집합론이나 수학 기초론에 지나치게 에너지를 쏟는 것은 해석학 입문자에게 권장되지 않는다.

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$\mathbb{P}$ : the positive real numbers

12. 다음을 만족하는 실수의 부분 집합 $\mathbb{P}$ 가 존재한다. (우리는 양의 실수라고 불렀었다.)

• $ x, y \in \mathbb{P} \Rightarrow \; x+y \in \mathbb{P} $
• $ x, y \in \mathbb{P} \Rightarrow \; xy \in \mathbb{P} $
• $x \in \mathit{F}$ 이면, 정확히 다음 셋 중 하나가 참이다. $$ x\in\mathbb{P} \;\; \mbox{or} \;\; x=0 \;\; \mbox{or} \;\; -x\in\mathbb{P} .$$

마지막 공리를 도입하기 위해서는 용어를 몇 개 도입해야 한다.

Bounded above

공집합이 아닌 실수의 부분집합 $X$ 이라 하자. 어떤 실수 $a$ 가 존재하여 $x \le a(x \ge a)$ 을 만족하면, $X$ 는 위로(아래로) 유계라 불린다.

A nonempty subset $X$ of $\mathit{F}$ is said to be bounded above(below) if there exists a real number $a$ such that $x \le a(x \ge a)$ for all $x \in X$.

위 정의에서의 $a$ 를 상계(하계)라고 부른다.

The number $a$ is called an upper(lower) bound for $x$.

The Least-Upper-Bound Axiom

공집합이 아니 실수의 부분집합이 위로 유계(bounded above)이면, 최소 상계(least upper bound)를 가진다.

13. A nonempty subset of real numbers which is bounded above has a least upper bound.

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실수의 부분 집합인 자연수(양의 정수)를 정의하고, 실수 공리 체계로부터 정렬성(Well-Ordering Principle)을 유도할 것이다. 기초 정수론 교재들에서는 증명없이 수용한다.

successor set

A subset S of $ \mathit{F} $ is said to be a successor set if S satisfies following two conditions

(1) $ 1 \in S $
(2) $ \mathit{n \in S \rightarrow n+1 \in S }$

$ \mathit{F} $ 은 위의 정의를 만족한다. 즉, 실수 자체가 하나의 successor set 이다. 우리는 최소한 하나의 successor set 의 존재를 알게 되었으므로 아래의 $ \bigcap \mathscr{A} $ 이 공집합이 아닌 것이 보장된다.

If $ \mathscr{A} $ is any nonemtpy collection of successor sets, then $ \bigcap \mathscr{A} $ is a successor set.

실수의 부분 집합 중에서 successor set의 정의를 만족하는 집합은 아마도 엄청나게 많을 것인다.
그런데 그들의 교집합은 다시 successor set이다. 증명이라 해봐야 정의를 만족하는지 확인하는 것이니 생략.

$\mathbb{P}$ : The set of positive integer

The set $\mathbb{P}$ of positive integer is the intersection of the family of all successor sets.

모든 successor set 들의 교집합으로 정의된 것을 '자연수'라고 부른다.

수학 전공과목에서 어떤 collection 의 합집합이나 교집합으로 정의하는 대상을 종종 보게 된다.
이들을 다룰 때 사용되는 수법을 익혀두고 가자.

Mathematical Induction

임의의 $n\in\mathbb{P}$ 에 대해서 문장(statement) $S(n)$ 이 있다.

다음 두 가지가 성립한다고 하자.
• (1) $S(1)$ 이 참이다.
• (2) $S(n)\Rightarrow S(n+1)$

그러면 임의의 $n$ 에 대해서 명제 $S(n)$ 은 참이다.

집합 $G=\{n\in\mathbb{P} \;|\; S(n) \mbox{ is true} \} $ 을 생각한다.

1. 정의로부터 $G \subset \mathbb{P}$ 이다.

2. (1) 에 의해 $1\in G$ 이다. 그리고 $n\in G$ 이면 (2)에 의해 $n+1\in G$ 이다. 따라서, $G$ 는 successor set 이므로 $\bigcap \mathscr{A} = \mathbb{P} \subset G $ 가 성립한다.

1, 2 에 의해 $G = \mathbb{P}$ 가 성립한다. ($G$ 의 정의를 잘 들여다 보라.)

모든 자연수가 1보다 크거나 같다는 자연수의 성질을 알고 싶다고 하자. 현재까지는 어벙벙하게 큰 collection 의 원소들의 교집합으로 자연수를 정의했기 때문에 구체적인 성질들은 증명해야 한다.

If $ n \in \mathbb{P} $, then $ n \ge 1 $.

다시 한 번, 자연수가 어마무시하게 큰 collection의 교집합임을 상기하자. 교집합은 각각의 집합의 '성질'을 모두 만족해야 한다. 자연수가 '어떠하다'를 증명하는 것은 그런 성질을 만족하는 successor set이 존재하는지를 살펴보면 된다! 만약 존재한다면 교집합으로 정의된 집합은 마땅히 그 성질을 가져야 할 것이다.

원하는 성질을 가진 집합을 정의하자. $$X=\{x \in \mathit{F} | x \ge 1 \}$$ 집합 $ X $ 가 successor set 임을 보이면 된다.

$1\in X $ 는 집합의 정의에 포함되어 있다. $n \in X \rightarrow n+1 \in X $ 은 실수의 순서 공리의 결과이다. (양의 실수들의 합은 다시 양수)

이와 같은 방식으로 자연수의 성질들을 만들어(?) 간다.
아래 내용들의 증명은 모두 생략한다. 위의 증명과 대동소이하다.

If $m, n \in \mathbb{P}$, then $ m+n \in \mathbb{P} $.

문장 $S(n)$ 을 임의의 $m\in\mathbb{P}$ 에 대하여 $m+n \in \mathbb{P}$ 이라 하자. $S(1)$ 이 참인 것은 $\mathbb{P}$ 의 정의에 의해 자명하다. 이제 $S(n) \Rightarrow S(n+1)$ 임을 보이면 된다.

우리가 고대하는 Well-Ordering Principle 을 위해서 다음 lemma는 필수적이다. 이는 자연수 $n$ 에 대해서 $n$ 과 $n+1$ 사이에 다른 자연수가 존재하지 않음을 보장해 준다.

If $n \in \mathbb{P} $, then $ n=1 $ or $ n-1 \in \mathbb{P} $.

집합 $G=\{ n\in\mathbb{P} \;|\; n-1=0 \mbox{ or } n-1 \in\mathbb{P} \}$ 가 successor set 임을 보이면 된다.

두 개의 변수를 가진 문장을 처리하는 것을 조금 전에 해봤었다.

If $ m,n \in \mathbb{P}$ and $m \le n $, then $ n-m \in \mathbb{P}. $

(얻고 싶었던 중요한 결과! 왜?)

자연수 $ n $ 에 대해서, 다음 부등식을 만족하는 $m$ 은 존재하지 않는다. $$ n \lt m \lt n+1. $$

Well-Ordering Theorem

정수론에서는 공리처럼 취급되는 것이 여기서는 증명의 대상이다!

집합 $X$가 공집합이 아닌 $\mathbb{P}$ 의 부분 집합이라 하자. 집합 $X$ 는 최소원(a least element)를 가진다.

자연수 집합 $\mathbb{P}$ 는 위로 유계가 아니다.

Archimedean Ordered

집합 $\mathit{F}$ 은 Archimedean ordered 이다.

$a,b$ 가 양의 실수라 하자. 어떤 자연수 $n$에 대해서, $a\lt nb$ 를 만족한다.

앞서 $\mathbb{P}$ 가 위로 유계가 아니라 했다. 즉, $\frac{a}{b} \lt n$ 을 만족하는 $n\in\mathbb{P}$ 가 존재한다.

$\varepsilon$ 이 양의 실수이면, $\frac1{n} \lt \varepsilon$ 을 만족하는 $n$이 존재한다.

현대 수학의 역할

오랜 시간 엄밀한 정의 없이도 잘 사용해 오던 실수가 약속으로 만들어진 실체가 없는 추상적인 것이라는 점이 납득하기 힘들 수 있다. 수 개념이 형성될 때, 사물의 개수나 무게같은 양과 관계해서 수를 생각했었기 때문이었을까? 적어도 내 경우는 그랬다.

유체의 흐름이 '연속'이라는 개념을 별로 거부감 없이 받아들여 왔었다. 그런데, 중간값 정리를 설명하기 위해

"물을 따르는 도중 정확히 절반의 물이 비워지는 순간이 있다."

는 표현을 보았을 때 의문이 들었다.

'물 분자의 개수가 홀수라면 어쩌지?'

현실 세계에 정말 '연속'인 것이 존재할까?
다음 문장은 Halliday 의 'Fundamentals of Physics' 8th Edition에 등장하는 문구이다.

Experiment show that "electrical fluid" is also not continuous
but is made up of multiples of a certain elementary charge.
실험에 의하면 전하유체는 연속이 아니고 전하의 배수로만 나타난다.(Charge is Quantized.)

실제로는 '연속'이 아니어도 유체를 연속인 것으로 가정하고 이론을 전개했을 때의 결과는 받아들일만 하다.
아마도 수학은 다른 과학에 추상적인 모델을 제공하는 학문으로 볼 수 있을 것 같다.

앞서 수학은 다른 과학에 추상적인 모델을 제공하는 역할을 하는 것 같다는 개인적인 감상을 밝혔다. 생각해보면 사물의 개수나 무게 같은 늘 실세계의 값(?)과 수를 연관시켰던 것도 현실에 추상적인 모델을 적용한 것으로 볼 수 있을 듯하다. 교육과정에서 실수의 모델로 제공되는 '실직선'은 아마 가장 간단한 예일 것이다.

역사적으로도 엄밀히 정의되기 전에 이미 실수라는 개념을 사용해 왔었다.

적분 개념은 토지 측량이라는 현실적 필요에 의해 이미 기원전에 형성됐다.
그리고 미분 개념은 17세기 뉴턴 등에 의해 정립되었다.
극한의 엄밀한 정의는 19세기 코시의 공적이다.
마지막으로 실수의 공리 체계는 19세기 후반~20세기 초에 확립된다.

우리가 공부하는 순서와는 거꾸로라는 점이 눈에 띈다. 실수나 극한을 엄밀하게 정의하지 않고도 문제가 없었다면 해석학이란 분야가 생겨나지 않았을 것이다.

고교 과정에서 직관에 호소해서 극한을 다룬 것처럼 naive 하게 집합과 극한을 다루었을 때, 수많은 문제가 발생했고 감당이 되지 않는 순간이 왔을 때, 이를 해결하기 위해 엄밀한 정의가 필요했다.