MathTrauma

주인공인 Wilson 정리를 소개한다. Wilson $p$를 소수라 하면 다음이 성립한다. $$ (p-1)! \equiv -1 \; (mod\; p) $$ 다음의 계산을 효과적으로 할 수 있다면 Wilson 정리의 증명을 이해한 것이다! $$ 4 \cdot \frac1{3} \cdot \frac1{4} \cdot 5 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \frac1{2} \cdot \frac1{5} $$ 다음 문제들은 모두 같은 문제이다. 다음 식의 값을 간단히 하라. $$ \sum_{n=-100}^{100} \frac1{2^i+1}$$ 등차 수열을 합을 구하는 것과 다를 게 무엇인가? $$ \frac1{2^{-i}+1} + \frac1{2^{i}+1} = 1$$ 를 이용하면 된다. 수열..

정수 $n$의 나머지 동네를 공부한다. 시계를 볼 줄 안다면, 12에 관한 나머지 동네를 이해한거다. congruence $$ a \equiv b \;(mod \; n) \Leftrightarrow n \;|\; b-a \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{Z} : nk=b-a $$ 세 가지 표기법을 마구 오갈 것이니 숙지해두자. $a \equiv b \;(mod \; n)$ 일 때, $a,b$를 $n$에 관해서 합동(congruent)이라고 한다. 기본적인 성질들을 정리하자. Let a,b,c be integers. Then $a \equiv a \; (mod \;n)$ $a \equiv b \Leftrightarrow b \equiv a$ If $ a \equiv b (..

Prime(소수) An integer p is called prime if (and only if) $ p \gt 1 $ If $ a \;|\; p $, then $a=\pm 1$ or $\pm p$. 귀찮으니 양수로 한정해서 이야기하자. 소수가 아닌 수를 합성수라고 하는데, 1 과 자기자신 외의 양의 약수를 가진다는 말이 된다. 소수(prime) 그 자체를 소수의 곱으로 인정한다면, 경험상 1 보다 큰 자연수는 소수의 곱이었다. 그런데, 정작 이를 증명하라면 막막하다. 다음의 보조 정리의 증명에 '정렬성(Well-Ordering)'을 써보자. 임의의 2 이상인 자연수 $n$은 소수의 곱으로 표현된다. 소수의 곱으로 표현할 수 없는 자연수의 집합을 $X$ 라 하자. 만약 공집합이 아니라면 정렬성에 의해 ..

예고한 것처럼 '최대 공약수'를 다룬다. 두 정수의 '최대 공약수'가 두 수의 '일차결합'으로 표현된다는 점은 반드시 명심하자. 또한 이번 글에서 접혀있지 않은 증명은 모두 숙지해야 이후의 삶이 편해진다. G.C.D(the Greatest Common Divisor) Let $a$ and $b$ be integers. $d$ is the greatest common divisor if and only if $d \gt 0$ $d \;|\; a$ and $d\;|\;b$ $e|a$ and $e|b$ $\Rightarrow e \lt d$ 말 그대로, 최대공약수 $d$는 다른 모든 공약수($e$)보다 큰 공약수이다. 정의는 이해가 되는데, 최대공약수를 구하는 방법이 궁금하다. 지난 시간에 공부한 $a,b$ ..

무한 집합을 다루려면 좋으나 싫으나 공리체계가 필요하다.무한 집합의 원소를 일일히 소개할 수 없기 때문이다. 그러나, 학부 초반에 배우게 되는 정수론 교재들은 공리계에 많은 시간을 할애하지는 않는다. 여기서는 실수계(Real Number System)의 공리체계를 알고 있다고 가정하고 정수는 실수의 부분집합으로 다룬다. 덧셈과 곱셈에 대한 정의, 양수와 음수의 개념등을 실수에서 빌어와서 새로이 정의할 필요를 덜기 위함이다. 그리고 $$\mathbb{P}=\mathbb{N}$$ 를 양의 정수 집합(자연수)를 나타내는 기호로 쓴다. 실수 공리체계를 정리한 글을 조만간 올린다. 하여간 실수 공리계를 이용하여 다음을 이끌어낼 수 있는데 여기서는 그냥 받아들인다. [Well Ordering Principle(정렬..