Inequality Level - 1

 

1.

$a,b,c$ 는 실수이고 $\frac 1a + \frac1b + \frac 1c = \frac 1{a+b+c}$ 이다. $$ ab+bc+ca \lt 0 $$ 임을 증명하라.

$$ \frac{ab+bc+ca}{abc} = \frac 1{a+b+c} $$ $$ \Longleftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca) =abc $$ 근과 계수와의 관계를 써야할 듯하니 $$ \alpha = a+b+c , \beta = ab+bc+ca $$ 라 하자. $a,b,c$를 근으로 가지는 3차 방정식은 앞서의 등식으로부터 $$ t^3 - \alpha t^2 + \beta t - \alpha\beta = 0 $$ $$ \Longrightarrow (t-\alpha)(t^2 + \beta) = 0 $$ 이다. 여기서 $\beta \lt 0 $ 이어야 세 실근을 가지므로 목표 부등식이 증명된다.

2.

$$ ax+by-2c=0, ab-c^2 \gt 0$$ 일 때, $xy \lt 1$임을 증명하라.

$\frac{ax+by} 2 = c$ 를 $ab - c^2 \gt 0$ 에 대입하면 $$ ab \gt \frac {(ax+by)^2} 4 $$ 우변에 산술 기하 평균을 적용하면, $$ ab \gt abxy $$ 를 얻는다. $ab \gt 0$ 인 것은 문제의 조건에 포함되어 있다.

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