MathTrauma

정수 $n$의 나머지 동네를 공부한다. 시계를 볼 줄 안다면, 12에 관한 나머지 동네를 이해한거다. congruence $$a\equiv b(modn)\iff n|b-a\iff \mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z}:nk=b-a$$ 세 가지 표기법을 마구 오갈 것이니 숙지해두자. $a\equiv b(modn)$ 일 때, $a,b$를 $n$에 관해서 합동(congruent)이라고 한다. 기본적인 성질들을 정리하자. Let a,b,c be integers. Then $a\equiv a(modn)$ $a\equiv b\iff b\equiv a$ If $ a \equiv b (..

Prime(소수) An integer p is called prime if (and only if) $p>1$ If $a|p$, then $a=\pm 1$ or $\pm p$. 귀찮으니 양수로 한정해서 이야기하자. 소수가 아닌 수를 합성수라고 하는데, 1 과 자기자신 외의 양의 약수를 가진다는 말이 된다. 소수(prime) 그 자체를 소수의 곱으로 인정한다면, 경험상 1 보다 큰 자연수는 소수의 곱이었다. 그런데, 정작 이를 증명하라면 막막하다. 다음의 보조 정리의 증명에 '정렬성(Well-Ordering)'을 써보자. 임의의 2 이상인 자연수 $n$은 소수의 곱으로 표현된다. 소수의 곱으로 표현할 수 없는 자연수의 집합을 $X$ 라 하자. 만약 공집합이 아니라면 정렬성에 의해 ..

예고한 것처럼 '최대 공약수'를 다룬다. 두 정수의 '최대 공약수'가 두 수의 '일차결합'으로 표현된다는 점은 반드시 명심하자. 또한 이번 글에서 접혀있지 않은 증명은 모두 숙지해야 이후의 삶이 편해진다. G.C.D(the Greatest Common Divisor) Let $a$ and $b$ be integers. $d$ is the greatest common divisor if and only if $d>0$ $d|a$ and $d|b$ $e|a$ and $e|b$ $\Rightarrow e<d$ 말 그대로, 최대공약수 $d$는 다른 모든 공약수($e$)보다 큰 공약수이다. 정의는 이해가 되는데, 최대공약수를 구하는 방법이 궁금하다. 지난 시간에 공부한 $a,b$ ..

python3에는 이미 %-formatting 과 str.format( )이 있었다. 그런데 둘 모두 스트링 끝에 치환해야할 값을 따로 열거하는 방식(C-style)이다보니, 치환해야할 값이 많아지면 가독성이 떨어지고 매칭할 개수를 실수할 여지가 많았다. 치환해야할 자리에 바로 변수를 입력하는 방식이 적용된 것이 f-string 이다. 1. 형식 스트링 앞에 'f' 또는 'F'를 붙이고 치환되어야 할 자리를 {variable_name} 으로 하면 된다. 조금 더 게을러져 보자. 위의 예에서 name 값 앞에 '이름 : ' 을 붙이는 것도 귀찮다면 { } 안에서 변수명 뒤에 '='를 사용하면 변수명을 문자로 출력하고 값도 출력해주는 기특한 짓을 한다. 2. 제한 (1) f-string 의 치환 영역 { }..

대소 비교는 해석학에서 가장 중요한 기술이다. 따라서 다수의 부등식을 익혀야 하는데 생각나는대로 정리해 두자. 많은 중요 부등식은 서로 동치이고 증명의 방법도 많다. 여기에 소개하는 증명은 취향에 의해 선택된 경우가 많다. 처음 등장하는 부등식은 코시 부등식이다. 코시 부등식 Cauchy's Inequality $$\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)\ge {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2$$ 코시 부등식은 가장 많은 증명이 제시된 부등식이기도 한데 일단 라그랑제 항등식을 이용하는 것부터 살펴보자. Lagrange's Identity $$ \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right..

1. Header Set header 에는 'set' 과 'multiset', Map header 에는 'map' 과 'multimap' 이 정의되어 있다. 4개의 컨테이너를 동시에 다루는 이유는 (1) 모두 균형잡힌 이진트리(Red-Black Tree)로 구현되었으며 (2) method 가 거의 동일하기 때문이다. 모든 method 를 다루지는 않는다. 많이 쓰이는 method 들을 '생성->순회 or 탐색 -> 제거 -> 정리' 순서로 정리해 보자. 2. Construction (1) insert method 를 이용하여 하나씩 삽입하는 것이 직관적인 방식일 것이다. int arr[]={6, -5, 3, 11, -1}; set s1; map m1; for(int i=0;i

container 들의 모든 멤버들을 한꺼번에 열거하는 것은 경험상 별 도움이 안된다. 많은 요소들을 가진 저장소를 어떻게 이용할 것인가에 집중해보자. ⚙️ 모든 컨테이너에 공통되는 것부터 1-1. 저장소이니 얼마나 많이 저장하고 있는가를 알고 싶다. -> container.size( ) 1-2. 혹시 비어있나? -> container.empty( ); 1. vector 와 deque vector와 deque 모두 순차 접근을 기본으로 한다. 순차 접근 컨테이너를 둘로 만든 이유는 다음과 같다. vector는 대충 배열을 이용한다고 생각하면 되는데, 알다시피 배열은 앞 부분의 원소를 추가하는데 비용이 많이 든다. 그래서 선두에 추가, 삭제가 잦은 상황에 더 효율적으로 대응하기 위한 container가 d..

0을 기준으로 하는 멱급수 $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$ 가 수렴하는 $x=x_0(\ne 0)$가 존재한다고 하자. 어떤 $N$에 대하여 $n\ge N\to |a_n{x}_0^n|n,k|a_k|<\epsilon$ 을 만족한다. 이로부터 $$\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}|a_k|x^k<\epsilon \sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}{x}^k<\frac{\epsilon }{n}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k=\frac{\epsilon }{n(1-x)}.$$ 를 얻는다. 이제 $x_n=1-\frac{1}{n}$를 이 식에 대입하면 $$|s_n-f(x_n)| \le \frac1n \sum_{k=1}^n ..